【證明題】頂角為100度的等腰三角形

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這是一道來自研發養成所的證明題，紅框部分為需要證明的等式。

該題證明要用到三倍角公式，而三倍角公式可由和角公式和二倍角公式推出。

bridan說可用國中程度解這道題，如果國中沒有學到三倍角公式，則我暫時不知道國中程度應該如何解答。

grok三倍角公式推導

以下使用和角公式推導 \sin(3\theta)、\cos(3\theta) 和 \tan(3\theta) 的三倍角公式。

1. 和角公式

  • \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

  • \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

  • \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

2. 推導 \sin(3\theta)

將 3\theta = \theta + 2\theta，應用和角公式： \sin(3\theta) = \sin(\theta + 2\theta) = \sin \theta \cos(2\theta) + \cos \theta \sin(2\theta)

雙倍角公式：

  • \sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta

  • \cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1

代入： \sin(3\theta) = \sin \theta (2\cos^2 \theta - 1) + \cos \theta (2 \sin \theta \cos \theta)

整理： \sin(3\theta) = 2\sin \theta \cos^2 \theta - \sin \theta + 2 \sin \theta \cos^2 \theta = 4 \sin \theta \cos^2 \theta - \sin \theta

提取 \sin \theta： \sin(3\theta) = \sin \theta (4 \cos^2 \theta - 1)

使用 \cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta： 4 \cos^2 \theta - 1 = 4(1 - \sin^2 \theta) - 1 = 3 - 4\sin^2 \theta

最終： \sin(3\theta) = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta

3. 推導 \cos(3\theta)

同樣將 3\theta = \theta + 2\theta，應用和角公式： \cos(3\theta) = \cos(\theta + 2\theta) = \cos \theta \cos(2\theta) - \sin \theta \sin(2\theta)

代入雙倍角公式： \cos(3\theta) = \cos \theta (2\cos^2 \theta - 1) - \sin \theta (2 \sin \theta \cos \theta)

整理： \cos(3\theta) = 2\cos^3 \theta - \cos \theta - 2 \sin^2 \theta \cos \theta

使用 \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta： -2 \sin^2 \theta \cos \theta = -2 (1 - \cos^2 \theta) \cos \theta = -2 \cos \theta + 2 \cos^3 \theta

合併： \cos(3\theta) = 2\cos^3 \theta - \cos \theta - 2 \cos \theta + 2 \cos^3 \theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta

最終： \cos(3\theta) = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta

4. 推導 \tan(3\theta)

將 3\theta = \theta + 2\theta，應用和角公式： \tan(3\theta) = \tan(\theta + 2\theta) = \frac{\tan \theta + \tan(2\theta)}{1 - \tan \theta \tan(2\theta)}

雙倍角公式： \tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}

令 u = \tan \theta，則： \tan(2\theta) = \frac{2u}{1 - u^2}

代入： \tan(3\theta) = \frac{u + \frac{2u}{1 - u^2}}{1 - u \cdot \frac{2u}{1 - u^2}}

分子： u + \frac{2u}{1 - u^2} = \frac{u(1 - u^2) + 2u}{1 - u^2} = \frac{3u - u^3}{1 - u^2}

分母： 1 - u \cdot \frac{2u}{1 - u^2} = \frac{1 - 3u^2}{1 - u^2}

整理： \tan(3\theta) = \frac{3u - u^3}{1 - 3u^2}

代回 u = \tan \theta： \tan(3\theta) = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}

5. 總結

三倍角公式為：

  • \sin(3\theta) = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta

  • \cos(3\theta) = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta

  • \tan(3\theta) = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}

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